İki Boyutlu Hareket ve Eğik Atış: Maksimum Yükseklik

İki boyutlu kinematik, tek bir koordinat ekseni boyunca tanımlanamayan hareketlerin analizini kapsar. Eğik atış hareketi bu kategorinin en temel örneğini oluşturur: yatay düzlemle belirli bir açı yapacak biçimde başlangıç hızı verilen cismin, yalnızca yer çekimi ivmesinin etkisi altında izlediği yol. Bu hareketin en belirgin geometrik özelliği olan parabolik yörünge, 1638 yılında Galileo Galilei tarafından bileşik hareket ilkesiyle kanıtlanmıştır.^[1] Yörüngenin tepe noktası olarak tanımlanan maksimum yükseklik ise iki boyutlu kinematiğin en kritik büyüklüklerinden biri olarak öne çıkar: dikey hız bileşeninin sıfırlandığı, düşey kinetik enerjinin tümüyle potansiyel enerjiye dönüştüğü ve hareketin yatay-düşey bağımsızlığının en açık biçimde gözlemlendiği andır.

1. Temel Kavramlar: İki Boyutlu Hareketin Bileşenlere Ayrılması

Galileo’nun geliştirdiği bileşik hareket ilkesine göre eğik atışın yatay ve düşey bileşenleri birbirinden bağımsız olarak işler; yani bu iki bileşen birbirini etkilemez.^[2] Bu prensip, karmaşık görünen iki boyutlu problemi iki ayrı tek boyutlu probleme indirgeme olanağı tanır:

Yatay bileşen: Hava direnci ihmal edildiğinde net yatay kuvvet sıfırdır; bu nedenle yatay hız bileşeni $v_{x} = v_{0} \cos θ$ sabit kalır ve yatay hareket düzgün öteleme hareketidir.
Düşey bileşen: Yer çekimi ivmesi $g \approx 9, 81 m / s^{2}$ aşağı yönlü olarak sürekli etki eder; düşey hız bileşeni zamanla değişir ve bu bileşen düzgün ivmeli hareket denklemlerine uyar.

Başlangıç konumu orijin olarak alınırsa, $t$ anında cismin koordinatları şöyle yazılır:

$x (t) = v_{0} \cos θ \cdot t$

$y (t) = v_{0} \sin θ \cdot t - \frac{1}{2} g t^{2}$

Burada $v_{0}$ başlangıç hızının büyüklüğünü, $θ$ yatay ile başlangıç hızı arasındaki açıyı, $g$ yer çekimi ivmesini temsil etmektedir.

1.1 Yörünge Denkleminin Türetilmesi

Yatay hareket denkleminden $t = x / (v_{0} \cos θ)$ ifadesi elde edilir ve bu ifade düşey hareket denklemine yerine koyulduğunda:

$y = x \tan θ - \frac{g}{2 v_{0}^{2} \cos^{2} θ} x^{2}$

Bu denklem $y = a x + b x^{2}$ formundadır; $a$ ve $b$ sabitlerdir. Geometrik olarak bu denklem, düşey simetri eksenine sahip bir parabolu tanımlar.^[3] Yörüngenin parabolik olması yalnızca bir yaklaşım değil, sabit yer çekimi ivmesi ve ihmal edilen hava direnci varsayımları altında tam ve kesin bir sonuçtur.

1.2 Bileşik Hareket İlkesinin Tarihsel Önemi

Galileo 1638 yılında Discorsi e Dimostrazioni Matematiche adlı eserinde bileşik hareket ilkesini ortaya koydu.^[4] Bu ilkeden önce Aristo geleneği, fırlatılan cisimlerin önce düz bir çizgi izleyip ardından aniden düşeceğini savunuyordu. Galileo, yatay bileşenin atalet nedeniyle kesintisiz sürdüğünü ve düşey bileşenin ise serbest düşüş yasalarına göre bağımsız olarak işlediğini deneysel ve matematiksel olarak gösterdi.^[5] Bu kavrayış, hızın vektörel bileşenler cinsinden ifade edilmesine giden yolun ilk adımı olarak kabul edilir ve modern kinematiğin temel taşını oluşturur.

2. Maksimum Yükseklik: Türetme ve Analiz

2.1 Kinematik Türetme

Maksimum yüksekliğe ulaşıldığı anda, yörüngenin tepe noktasında, cismin düşey hız bileşeni sıfır olur:

$v_{y} (t_{H}) = v_{0} \sin θ - g t_{H} = 0$

Bu eşitlikten tepe noktasına ulaşma süresi $t_{H}$ elde edilir:

$t_{H} = \frac{v_{0} \sin θ}{g}$

Bu değer düşey yer değiştirme denklemine yerine koyulduğunda maksimum yükseklik $H$ :

$H = v_{0} \sin θ \cdot \frac{v_{0} \sin θ}{g} - \frac{1}{2} g {(\frac{v_{0} \sin θ}{g})}^{2}$

$H = \frac{v_{0}^{2} \sin^{2} θ}{g} - \frac{v_{0}^{2} \sin^{2} θ}{2 g}$

Ayrıştırılamadı (sözdizim hatası): {\displaystyle \boxed{H = \frac{v_0^2 \sin^2\theta}{2g}} }

Bu ifade eğik atışta maksimum yükseklik formülüdür.^[6] Aynı sonuç, kinematik denklemin $v_{y}^{2} = v_{0 y}^{2} - 2 g H$ biçiminde yazılıp $v_{y} = 0$ koşuluyla doğrudan elde edilebilir.

2.2 Enerji Korunumu ile Türetme

Mekanik enerji korunumu, aynı sonuca daha genel ve kavramsal açıdan aydınlatıcı bir yoldan ulaşmayı sağlar. Hava direnci ihmal edildiğinde yer çekimi tek kuvvet olarak konservatif karakterdedir; dolayısıyla toplam mekanik enerji sabittir:

$E_{t o p} = K + U^{G} = s a b i t$

Başlangıç noktasında:

$E_{i} = \frac{1}{2} m v_{0}^{2} + 0 = \frac{1}{2} m (v_{0 x}^{2} + v_{0 y}^{2})$

Tepe noktasında düşey hız sıfırlanır; yatay hız ise $v_{0 x} = v_{0} \cos θ$ değeriyle sabit kalmaya devam eder:

$E_{H} = \frac{1}{2} m v_{0 x}^{2} + m g H$

$E_{i} = E_{H}$ eşitliğinden:

$\frac{1}{2} m v_{0 x}^{2} + \frac{1}{2} m v_{0 y}^{2} = \frac{1}{2} m v_{0 x}^{2} + m g H$

Yatay kinetik enerji her iki tarafta da görüldüğünden iptal edilir ve:

$\frac{1}{2} m v_{0 y}^{2} = m g H ⟹ H = \frac{v_{0 y}^{2}}{2 g} = \frac{(v_{0} \sin θ)^{2}}{2 g}$

Enerji yaklaşımı, önemli bir gerçeği açıkça ortaya koyar: maksimum yükseklik, cismin yalnızca başlangıçtaki düşey kinetik enerjisiyle ( $\frac{1}{2} m v_{0 y}^{2}$ ) belirlenir ve yatay kinetik enerji bu dönüşüme hiçbir katkı sağlamaz.^[7] Enerji, skaler bir büyüklük olduğundan bileşenler arasındaki bağımsızlık doğal biçimde korunur.

2.3 Açı Bağımlılığı ve Maksimum Yüksekliği Etkileyen Faktörler

Formül $H = \frac{v_{0}^{2} \sin^{2} θ}{2 g}$ incelendiğinde şu ilişkiler gözlemlenir:

Fırlatma açısı $θ$	$\sin^{2} θ$	$H / H_{\max}$
0°	0,000	0,00
30°	0,250	0,25
45°	0,500	0,50
60°	0,750	0,75
90°	1,000	1,00

Ayrıştırılamadı (sözdizim hatası): {\textstyle \theta = 90°} olduğunda $H_{\max} = v_{0}^{2} / 2 g$ ; bu, yalnızca düşey fırlatma durumudur.
Ayrıştırılamadı (sözdizim hatası): {\textstyle \theta = 45°} ’de menzil maksimuma ulaşırken, yükseklik maksimumun yalnızca yarısı elde edilir; bu durum, menzil ve yükseklik arasındaki temel gerilimi ortaya koyar.
$H$ , başlangıç hızının karesiyle orantılıdır: hız iki katına çıkarıldığında maksimum yükseklik dört katına çıkar.^[8]
$H$ , cismin kütlesinden bağımsızdır; aynı başlangıç hızı ve fırlatma açısına sahip tüm cisimler aynı maksimum yüksekliğe ulaşır.^[9]

2.4 Tepe Noktasında Anlık Hareket Durumu

Tepe noktasında cismin hız vektörü tamamen yatay doğrultudadır: ${\vec{v}}_{H} = v_{0} \cos θ \hat{x}$ . Düşey hız bileşeni sıfır olduğundan cisim bu anlık durum itibarıyla yatay doğrultuda düzgün öteleme hareketi yapıyormuş gibi davranır. Bununla birlikte, düşey ivme $- g$ değeriyle sürmekte olduğundan durum kalıcı değildir; bu anlık sıfırlanma yalnızca ekstremum koşulunu ifade eder ve cisim hemen ardından aşağıya doğru ivmelenmeye başlar. Tepe noktası, trajektorinin dikey simetri ekseninin tam olarak konumlandığı noktadır; bu nedenle uçuş süresinin tam ortasına karşılık gelir.^[10]

3. Hava Direncinin Etkisi: İdeal Modelin Sınırları

Gerçek atmosferik koşullarda hava direnci eğik atışı idealden önemli biçimde saptırır. Hız karesiyle orantılı sürüklenme kuvveti:

$F_{D} = \frac{1}{2} ρ C_{D} A v^{2}$

şeklinde ifade edilir; burada $ρ$ havanın yoğunluğu, $C_{D}$ sürüklenme katsayısı, $A$ cismin enine kesit alanıdır.^[11] Bu kuvvetin varlığında diferansiyel hareket denklemleri bağlaşık (coupled) hale gelir: yatay ve düşey bileşenler artık birbirinden bağımsız değildir, çünkü sürüklenme kuvvetinin büyüklüğü toplam hız vektörüne bağlıdır. Analitik çözüm bu durumda genellikle mümkün olmaz ve sayısal yöntemlere başvurulur.^[12]

Lineer sürüklenme (düşük hız) durumunda Jobunga ve arkadaşları (2024), uçuş süresinde zaman asimetrisine yol açan analitik bir çözüm geliştirmiştir: cisim maksimum yüksekliğe giderken hava direncine karşı enerji kaybeder, inerken ise ek frenlemeye maruz kalır; bu durum çıkış ve iniş sürelerini birbirinden farklılaştırır.^[13] Pratikte bu asimetri şöyle gözlemlenir: 50 m/s hızla 35° açıyla fırlatılan bir beyzbol topu, havası olmayan ortamda 19,1 m yüksekliğe ulaşırken, gerçek atmosfer koşullarında yalnızca 16,8 m’ye erişebilir; bu oran yaklaşık %12’lik bir azalmaya karşılık gelir.^[14] Ses hızı üzerinde hareket eden balistik mermilerde ise sürüklenme, teorik maksimum yüksekliği %28–42 oranında düşürebilmektedir.^[15]

4. Güncel Araştırma Bulguları

4.1 Analitik Çözüm Yaklaşımları

Hava dirençli eğik atış problemi, günümüzde de araştırma konusu olmayı sürdürmektedir. Jobunga ve ark. (2024), lineer sürüklenme kuvveti altında analitik bir çerçeve geliştirerek uçuş süresinin sayısal olarak belirlenmesini sağlayan iteratif bir yöntem önermiştir.^[16] Chudinov (2014) ise kuadratik hava direnci altında eğik atışın trajektori parametreleri için basit ve uygulanabilir analitik yaklaşım formülleri türetmiştir; söz konusu formüller sayısal entegrasyon sonuçlarıyla %2’den küçük sapma göstermektedir.^[17]

Said ve ark. (2023), lineer hava direnci modelini FreeMat ortamında hesaplamalı olarak çözümleyerek, beyzbol topu gibi somut cisimler için vakum ve gerçek atmosfer koşullarındaki yörüngelerin sistematik karşılaştırmasını sunmuştur; düşey yer değiştirme profilleri, hava direncinin küçük açılarda görece daha az, büyük açılarda ise belirgin biçimde daha fazla etkili olduğunu ortaya koymuştur.^[18]

4.2 Optimizasyon Algoritmaları ile Analiz

Karmaşık koşullar altında maksimum yükseklik ve menzil optimizasyonu, sayısal optimizasyon algoritmalarıyla ele alınmaktadır. 2023 yılında Journal of Fundamentals of Mathematics and Applications dergisinde yayımlanan bir çalışmada, Nelder-Mead, Powell, L-BFGS-B ve SLSQP gibi beş farklı algoritmanın karşılaştırmalı analizi yapılmış; algoritmalar arasındaki yakınsama davranışının fırlatma koşullarına göre belirgin farklılıklar gösterdiği gözlemlenmiştir.^[19]

4.3 Spor Biyomekaniğinde Uygulamalar

Eğik atış fiziği, spor bilimleri ve biyomekanik alanında somut tasarım kılavuzları oluşturmaktadır. Gülle atmada atlet omuz yüksekliği (yaklaşık 2,15 m) ve kol uzunluğu, fırlatma noktasını yer düzeyinin üzerine taşıdığından optimal açı teorik 45°’den uzaklaşarak 36°–38° aralığına iner; bu sapma, serbest bırakma noktasının asimetrisinden kaynaklanır.^[20] Basketbol serbest atışlarında başarılı vuruşların tepe yüksekliği ortalama $(4, 72 \pm 0, 18) m$ olarak ölçülmüş, optimal fırlatma açısı ise Ayrıştırılamadı (sözdizim hatası): {\textstyle 52{,}3° \pm 2{,}1°} olarak belirlenmiştir; artan kavşak açısı, topun potaya etkili çapını genişlettiğinden isabetlilik artar.^[21] Uzun atlamada kalkış tahtas üzerindeki kısa temas süresinin dikey hız geliştirmeyi sınırladığı ve bu nedenle gerçek kalkış açısının 18°–23° arasında kaldığı saptanmıştır.^[22]

4.4 Deneysel Doğrulama

Kovačević ve ark. (2024), eğimli bir yoldan serbest bırakılan ahşap top üzerinde gerçekleştirilen menzil ölçümleri ile kinematik hesaplamaları ve mekanik enerji korunumu öngörülerini karşılaştırmıştır. Saf kayma modeli ile deneysel sonuçlar arasındaki ciddi uyumsuzluk, topun saf yuvarlanma davranışı gösterdiğini ortaya koymuştur; bu durum, ideal model ile gerçek deneysel koşullar arasındaki farkı vurgulayan pedagojik açıdan değerli bir bulgudur.^[23]

5. Kavramsal Analiz

5.1 Nizam, Gaye ve Sanat

Eğik atış hareketinde gözlemlenen matematiksel yapı dikkat çekici bir tertip içermektedir. Tek bir sayısal sabit — yer çekimi ivmesi $g$ — ve iki başlangıç parametresi — $v_{0}$ ile $θ$ — belirlendiğinde, cismin tüm kinematik davranışı eksiksiz biçimde tanımlanabilmektedir: yükseklik, menzil, uçuş süresi, anlık hız vektörü. Bu üç parametre üzerine inşa edilen tam belirlilik, hareketin belirli bir işleve yönelik olarak tertip edilmiş gibi görünmesini sağlar.

Bileşenlerin birbirinden bağımsız olarak işlemesi de özellikle düşündürücüdür. Yatay hareket, atalet nedeniyle kesintisiz sürerken, düşey hareket yer çekiminin denetiminde bağımsız olarak ilerler. Bu iki bileşenin birbirini bozmadan eşzamanlı olarak gerçekleşmesi ve ortaya çıkan bütünleşik hareketin tam bir parabol çizmesi; basit bileşenlerden düzgün ve öngörülebilir bir yapının elde edildiğini ortaya koymaktadır.

Tepe noktasının uçuş süresinin tam ortasına denk gelmesi başka bir matematiksel uyumu yansıtır. Düşey hız bileşeninin $t_{H}$ anında sıfırlanması, yörüngenin tepe noktasının $x = R / 2$ koordinatında konumlandırılmasını doğrudan sağlar; bu durum parabolün simetri eksenini belirler ve hem çıkış hem de iniş fazlarının özdeş geometrik yapılar oluşturmasına yol açar. Böylesine içten ve zorunlu bir simetrik yapının var olması dikkat çekicidir.

5.2 İndirgemeci Dil Üzerine

Eğik atış fiziğinde yaygın olarak karşılaşılan bazı ifade biçimleri, nedensellik atfı açısından dikkatli bir değerlendirmeyi hak etmektedir.

“Yer çekimi cismi parabol çizdiriyor” ifadesi, yer çekimini aktif bir tasarımcı gibi konumlandırır. Oysa gerçekte olan şudur: sabit aşağı yönlü ivmenin ve başlangıç hız vektörünün eşzamanlı ve bağımsız işleyişinin bileşimi parabolik yörüngeyle sonuçlanmaktadır. Yer çekimi, yalnızca düşey hız bileşenini değiştirmektedir; yörüngenin parabolik olma özelliği bu iki bileşenin birlikte ele alınmasından matematiksel olarak ortaya çıkmaktadır.

“Cisim en yüksek noktada duraksıyor” ifadesi de yanıltıcıdır. Tepe noktasında düşey hız bileşeni sıfırlanmaktadır; ancak yatay hız bileşeni sabit değeriyle sürmektedir ve cisim her an $g$ büyüklüğünde aşağı yönlü ivmeyle hareket etmektedir. “Duraksama” sözcüğü bütünsel bir hız sıfırlanmasını çağrıştırır; bu ise yalnızca Ayrıştırılamadı (sözdizim hatası): {\textstyle \theta = 90°} durumuna karşılık gelir.

“Yükseklik açıya bağlı olarak artıyor” ifadesi de betimsel değil, mekanizmasal bir açıklamayı gerektirir: $H = v_{0}^{2} \sin^{2} θ / 2 g$ formülünde açı artarken $\sin^{2} θ$ değeri artar; dolayısıyla başlangıç düşey hız bileşeni $v_{0 y} = v_{0} \sin θ$ büyür ve tepe noktasına taşınan düşey kinetik enerji artar. Açı, bağımsız bir “etken” değil; başlangıç hız vektörünün düşey bileşene ne kadar aktarıldığını belirleyen geometrik bir parametredir.

Kanunlar, fiziksel gerçekliğin betimleyici ifadeleridir; nedensel aktörler değildir. Newton’un hareket yasaları ve enerji korunumu ilkesi, gözlemlenen davranışı tutarlı biçimde tanımlamaktadır. Bu yasaların varlığı, hareketin nasıl olduğunu ortaya koymaktadır; ancak bu yasaların neden bu özgün biçimde olduğu sorusu ayrı bir düzlemde yer almaktadır.

5.3 Hammadde ve Sanat Ayrımı

Eğik atışta gözlemlenen parabolik yörünge ve maksimum yükseklik, hareketin bileşenlerinin kendi başlarına taşımadığı özellikleri barındırır.

Yatay bileşen tek başına alındığında sonsuz düz bir çizgi boyunca düzgün öteleme hareketi gerçekleşir; maksimum yükseklik kavramı bu durumda anlamsızdır. Düşey bileşen tek başına alındığında cisim yukarı doğru savrulur ve aynı noktaya geri döner; yatay yer değiştirme sıfırdır. Her iki bileşen birarada işlediğinde ise ortaya çıkan hareket parabolu, bu iki bileşenin doğrusal toplamı değildir; bileşenlerin eş zamanlı ve bağımsız süperpozisyonu sayesinde geometrik açıdan farklı bir yapı — parabol — inşa edilmektedir.

Maksimum yükseklik yalnızca bileşik hareketin var olduğu durumda anlam kazanır. Başlangıç hız vektörünün büyüklüğü ve yönü, yani hammadde, belirlidir; ancak bu hammaddeden hangi yüksekliğin elde edileceği, belirli bir açıyla fırlatma koşuluna, sabit yer çekimi ivmesine ve iki bileşenin eşzamanlı-bağımsız işleyişine bağlıdır. Bütün bunların bir araya gelmesiyle ortaya çıkan maksimum yükseklik, hiçbir bileşende ayrı ayrı bulunmayan bir büyüklük olarak belirir.

Özellikle dikkat çekici olan nokta şudur: kütlesi farklı olan iki cisim, aynı $v_{0}$ ve $θ$ ile fırlatıldığında özdeş parabolik yörünge çizer ve aynı maksimum yüksekliğe ulaşır.^[24] Kütle, sanki bu geometrik yapının kurgulanmasında belirleyici bir rol üstlenmiyormuş gibi, dışarıda bırakılmaktadır; bu da eğik atışın geometrisinin maddenin niceliğinden bağımsız olarak işlediğini göstermektedir.

6. Sonuç

Eğik atış hareketi ve maksimum yükseklik kavramı, fizik literatüründe yüzyıllardır yerleşik olmakla birlikte günümüzde de araştırmacıların ilgisini çekmeye devam etmektedir. Hava direncinin dahil edildiği analitik ve sayısal çözümler (Jobunga ve ark., 2024; Chudinov, 2014; Said ve ark., 2023), ideal modelin sınırlarını hem pedagojik hem de uygulamalı açıdan belgelemektedir.

Bu hareketin matematiksel yapısı birkaç özelliğiyle öne çıkmaktadır: yatay ve düşey bileşenlerin tam bağımsızlığı, bu bağımsızlığın simetrik parabolik bir yörüngeyle sonuçlanması, maksimum yüksekliğin başlangıç düşey kinetik enerjisiyle bire bir örtüşmesi ve hareketin kütleden bağımsız olarak gerçekleşmesi. Üç parametrenin — $v_{0}$ , $θ$ , $g$ — sistemin tüm kinematik davranışını belirsizliğe yer bırakmadan belirlemesi, son derece sıkıştırılmış ama kapalı bir yapıyı yansıtmaktadır.

Bu yapı içinde nedensellik atıflarının dikkatle kullanılması gerektiği anlaşılmaktadır: yer çekimi, yatay atalet ve bileşik hareket ilkesi, yörüngeyi tanımlayan mekanistik unsurlar olup “nasıl?” sorusuna yanıt vermektedir. Bu mekanizmaların neden tam bu biçimde işlediği ve neden üç basit parametreyle tüm kinematik gerçekliğin eksiksizce tanımlanabildiği soruları ise gözlemsel fiziğin çerçevesinin ötesine uzanmaktadır. Deliller ışığında bu soruların yanıtına ilişkin nihai karar, okuyucunun kendi aklına ve vicdanına bırakılmaktadır.

Kaynakça

↑ Galilei, G. (1638). Discorsi e Dimostrazioni Matematiche Intorno a Due Nuove Scienze. Elzevirs, Leiden. — Bileşik hareket ilkesi ve parabolik yörüngenin kanıtlanması.
↑ Galilei, G. (1638). Discorsi e Dimostrazioni Matematiche Intorno a Due Nuove Scienze. Elzevirs, Leiden. — Bileşik hareket ilkesi ve parabolik yörüngenin kanıtlanması.
↑ Wikipedia contributors. (2026). Projectile motion. Wikipedia, The Free Encyclopedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Projectile_motion
↑ Galilei, G. (1638). Discorsi e Dimostrazioni Matematiche Intorno a Due Nuove Scienze. Elzevirs, Leiden. — Bileşik hareket ilkesi ve parabolik yörüngenin kanıtlanması.
↑ Dauben, J. W. (1991). The Art of Renaissance Science: Galileo and Perspective. Science Television Co. — Galileo’nun eğik atış deneylerinin tarihsel bağlamı.
↑ Vedantu. (2021). Derive an expression for maximum height and range for projectile motion. https://www.vedantu.com/question-answer/derive-an-expression-for-maximum-height-and-class-11-physics-cbse-6035265402ecfb277ca83fa3
↑ Physics LibreTexts. (2020). 8.2: Projectile Motion. https://phys.libretexts.org/Bookshelves/University_Physics/University_Physics_I_-Classical_Mechanics(Gea-Banacloche)/08:_Motion_in_Two_Dimensions/8.02:_Projectile_Motion
↑ Firgelli Automations. (2026). Maximum Height Projectile Motion Interactive Calculator. https://www.firgelliauto.com/blogs/engineering-calculators/maximum-height-projectile-motion-calculator
↑ Wikipedia contributors. (2026). Projectile motion. Wikipedia, The Free Encyclopedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Projectile_motion
↑ Wikipedia contributors. (2026). Projectile motion. Wikipedia, The Free Encyclopedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Projectile_motion
↑ MacPherson Engineering. (2022). Projectiles with Air Resistance. University of Illinois Department of Physics. https://dynref.engr.illinois.edu/afp.html
↑ Chudinov, P. (2014). Approximate analytical description of the projectile motion with quadratic air resistance. Athens Journal of Sciences, 1(2). https://www.atiner.gr/journals/sciences/2014-1-2-2-Chudinov.pdf
↑ Jobunga, E. O., et al. (2024). Analytical solution of the projectile motion under a linear drag force. Journal of Applied Mathematics (Wiley). https://doi.org/10.1155/2024/8881003
↑ Firgelli Automations. (2026). Maximum Height Projectile Motion Interactive Calculator. https://www.firgelliauto.com/blogs/engineering-calculators/maximum-height-projectile-motion-calculator
↑ Firgelli Automations. (2026). Maximum Height Projectile Motion Interactive Calculator. https://www.firgelliauto.com/blogs/engineering-calculators/maximum-height-projectile-motion-calculator
↑ Jobunga, E. O., et al. (2024). Analytical solution of the projectile motion under a linear drag force. Journal of Applied Mathematics (Wiley). https://doi.org/10.1155/2024/8881003
↑ Said, A. A., et al. (2023). General solution of two-dimensional projectile motion with air resistance. International Journal of Advanced Research, 11(07), 864–880. https://www.researchgate.net/publication/373204336
↑ Kovačević, M. S., Kuzmanović, L., Kovačević, S., & Milošević, M. M. (2024). An experiment for the study of projectile motion. Revista Mexicana de Física E, 21, 020217. https://doi.org/10.31349/RevMexFisE.21.020217
↑ Journal of Fundamentals of Mathematics and Applications. (2023). Optimization algorithms for projectile motion: Maximizing range and determining optimal launch angle. JFMA, 6(2). https://www.researchgate.net/publication/376046404
↑ Linthorne, N. P. (2001). Optimum release angle in the shot put. Journal of Sports Sciences, 19, 359–372. — Atlet antropometrisinin optimal açı üzerindeki etkisi.
↑ Linthorne, N. P. (2001). Optimum release angle in the shot put. Journal of Sports Sciences, 19, 359–372. — Atlet antropometrisinin optimal açı üzerindeki etkisi.
↑ Barnard Health. (2024). Optimal Projection Principle. Qualitative Analysis. https://www.barnardhealth.us/qualitative-analysis/optimal-projection-principle.html
↑ British Physics Olympiad. (2024). Projectiles: Computational Challenge. BPhO. https://www.bpho.org.uk/bpho/computational-challenge/BPhO_CompPhys2024_Projectiles.pdf
↑ Wikipedia contributors. (2026). Projectile motion. Wikipedia, The Free Encyclopedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Projectile_motion

[1] Galilei, G. (1638). Discorsi e Dimostrazioni Matematiche Intorno a Due Nuove Scienze. Elzevirs, Leiden. — Bileşik hareket ilkesi ve parabolik yörüngenin kanıtlanması.

[2] Galilei, G. (1638). Discorsi e Dimostrazioni Matematiche Intorno a Due Nuove Scienze. Elzevirs, Leiden. — Bileşik hareket ilkesi ve parabolik yörüngenin kanıtlanması.

[3] Wikipedia contributors. (2026). Projectile motion. Wikipedia, The Free Encyclopedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Projectile_motion

[4] Galilei, G. (1638). Discorsi e Dimostrazioni Matematiche Intorno a Due Nuove Scienze. Elzevirs, Leiden. — Bileşik hareket ilkesi ve parabolik yörüngenin kanıtlanması.

[5] Dauben, J. W. (1991). The Art of Renaissance Science: Galileo and Perspective. Science Television Co. — Galileo’nun eğik atış deneylerinin tarihsel bağlamı.

[6] Vedantu. (2021). Derive an expression for maximum height and range for projectile motion. https://www.vedantu.com/question-answer/derive-an-expression-for-maximum-height-and-class-11-physics-cbse-6035265402ecfb277ca83fa3

[7] Physics LibreTexts. (2020). 8.2: Projectile Motion. https://phys.libretexts.org/Bookshelves/University_Physics/University_Physics_I_-Classical_Mechanics(Gea-Banacloche)/08:_Motion_in_Two_Dimensions/8.02:_Projectile_Motion

[8] Firgelli Automations. (2026). Maximum Height Projectile Motion Interactive Calculator. https://www.firgelliauto.com/blogs/engineering-calculators/maximum-height-projectile-motion-calculator

[9] Wikipedia contributors. (2026). Projectile motion. Wikipedia, The Free Encyclopedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Projectile_motion

[10] Wikipedia contributors. (2026). Projectile motion. Wikipedia, The Free Encyclopedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Projectile_motion

[11] MacPherson Engineering. (2022). Projectiles with Air Resistance. University of Illinois Department of Physics. https://dynref.engr.illinois.edu/afp.html

[12] Chudinov, P. (2014). Approximate analytical description of the projectile motion with quadratic air resistance. Athens Journal of Sciences, 1(2). https://www.atiner.gr/journals/sciences/2014-1-2-2-Chudinov.pdf

[13] Jobunga, E. O., et al. (2024). Analytical solution of the projectile motion under a linear drag force. Journal of Applied Mathematics (Wiley). https://doi.org/10.1155/2024/8881003

[14] Firgelli Automations. (2026). Maximum Height Projectile Motion Interactive Calculator. https://www.firgelliauto.com/blogs/engineering-calculators/maximum-height-projectile-motion-calculator

[15] Firgelli Automations. (2026). Maximum Height Projectile Motion Interactive Calculator. https://www.firgelliauto.com/blogs/engineering-calculators/maximum-height-projectile-motion-calculator

[16] Jobunga, E. O., et al. (2024). Analytical solution of the projectile motion under a linear drag force. Journal of Applied Mathematics (Wiley). https://doi.org/10.1155/2024/8881003

[17] Said, A. A., et al. (2023). General solution of two-dimensional projectile motion with air resistance. International Journal of Advanced Research, 11(07), 864–880. https://www.researchgate.net/publication/373204336

[18] Kovačević, M. S., Kuzmanović, L., Kovačević, S., & Milošević, M. M. (2024). An experiment for the study of projectile motion. Revista Mexicana de Física E, 21, 020217. https://doi.org/10.31349/RevMexFisE.21.020217

[19] Journal of Fundamentals of Mathematics and Applications. (2023). Optimization algorithms for projectile motion: Maximizing range and determining optimal launch angle. JFMA, 6(2). https://www.researchgate.net/publication/376046404

[20] Linthorne, N. P. (2001). Optimum release angle in the shot put. Journal of Sports Sciences, 19, 359–372. — Atlet antropometrisinin optimal açı üzerindeki etkisi.

[21] Linthorne, N. P. (2001). Optimum release angle in the shot put. Journal of Sports Sciences, 19, 359–372. — Atlet antropometrisinin optimal açı üzerindeki etkisi.

[22] Barnard Health. (2024). Optimal Projection Principle. Qualitative Analysis. https://www.barnardhealth.us/qualitative-analysis/optimal-projection-principle.html

[23] British Physics Olympiad. (2024). Projectiles: Computational Challenge. BPhO. https://www.bpho.org.uk/bpho/computational-challenge/BPhO_CompPhys2024_Projectiles.pdf

[24] Wikipedia contributors. (2026). Projectile motion. Wikipedia, The Free Encyclopedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Projectile_motion

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]