Büyüklük ve Yön Açısı

Vektörler, Bir Vektörün Bileşenleri ve Birim Vektörler: Büyüklük ve Yön Açısı Üzerine Kapsamlı Bir İnceleme

---

1. Giriş

Fiziksel gerçekliğin büyük bir kısmı, yalnızca bir sayıyla tam olarak tanımlanamaz. Sıcaklık, kütle ya da zaman gibi niceliklerin aksine; kuvvet, hız, ivme ve elektrik alanı gibi olgular, hem bir büyüklük hem de bir yön taşır. Bu ikili yapının matematiksel dili vektör kavramıdır. Vektörler, modern fiziğin, mühendisliğin, robotik sistemlerin ve uzay navigasyonunun temel matematiksel altyapısını oluşturur; büyüklük ve yön bilgisini aynı anda kodlayan bu nesneler olmaksızın Newton mekaniğinden Maxwell denklemlerine, klasik mekânikten kuantum alanına uzanan teorik çerçevelerin hiçbiri inşa edilemezdi.

Vektörel analizin tarihsel gelişimi, 19. yüzyılın büyük matematiksel tartışmalarından biri etrafında şekillenmiştir. William Rowan Hamilton’ın 1843’te geliştirdiği kuaterniyonlar (dört boyutlu hiperkarmaşık sayılar), uzaydaki dönmeleri ve yönlü büyüklükleri temsil etme kapasitesiyle başlangıçta büyük ilgi gördü. Ancak Hamilton’ın öğrencisi Tait ile Josiah Willard Gibbs ve Oliver Heaviside arasında yaşanan köklü tartışmanın ardından, Gibbs’ın 1880’lerde geliştirdiği ve modern fizik eğitiminde standart hale gelen vektör analizi sistemi kabul gördü. Gibbs, skalar çarpım (nokta çarpım) ve vektörel çarpım (çapraz çarpım) olmak üzere iki farklı çarpma işlemini kuaterniyon cebriyle ilişkili kavramlardan türeterek çok daha erişilebilir bir sistem kurdu. Günümüzde $\hat{i}$, $\hat{j}$, $\hat{k}$ birim vektör notasyonu ve bileşen ayrıştırması, bu mirası taşımaktadır.

---

2. Bilimsel Açıklama ve Güncel Bulgular

2.1 Temel Kavramlar ve İşleyiş

2.1.1 Skaler ve Vektörel Büyüklükler

Fiziksel nicellikler iki temel sınıfa ayrılır. Skaler büyüklükler, yalnızca bir sayısal değerle (büyüklük) tam olarak tanımlanır; zaman, sıcaklık, kütle ve enerji bu türdendir. Vektörel büyüklükler ise hem büyüklük hem de yön bilgisi gerektirir; yerdeğiştirme, hız, ivme, kuvvet ve momentum bu kategoriye girer.

Bu ayrımın pratik önemi büyüktür. Bir otomobil 50 km yol giderse bu bir skalerdir (uzaklık), ancak “50 km kuzeye” giderse bu bir vektördür (yerdeğiştirme). Aynı şekilde sürat (hızın büyüklüğü) skaler, hız ise vektöreldir. İki skaler toplandığında basit aritmetik kuralları geçerliyken, iki vektörün toplamı trigonometrik bileşen analizini gerektirir.

2.1.2 Vektörün Tanımı ve Gösterimi

Bir vektör $\overrightarrow{A}$, başlangıç noktasından bitiş noktasına doğru yönlendirilmiş bir ok (yönlü doğru parçası) olarak temsil edilir. Bu gösterimde okun uzunluğu vektörün büyüklüğünü, yönü ise vektörün uzayda işaret ettiği yönü ifade eder.

Vektörün büyüklüğü $|\overrightarrow{A}|$ ya da $A$ ile gösterilir ve her zaman negatif olmayan bir skaler değerdir. Başlangıç ve bitiş noktaları aynı olan vektör, sıfır vektör $\overrightarrow{0}$ olarak adlandırılır; bu özel vektörün büyüklüğü sıfırdır ve tanımlanmış bir yönü bulunmaz. Aynı büyüklük ve yöne sahip iki vektör, başlangıç noktalarından bağımsız olarak denk vektör kabul edilir.

2.1.3 Dikdörtgen (Kartezyen) Koordinat Sisteminde Bileşenler

Gerçek mekânda vektörlerin analitik olarak ele alınması için koordinat sistemine ihtiyaç duyulur. İki boyutlu Kartezyen koordinat sisteminde her vektör $\overrightarrow{A}$, birbirine dik olan $x$ ve $y$ eksenlerine olan projeksiyonlarıyla, yani bileşenleriyle tanımlanır.

Büyüklüğü $A$ olan ve pozitif $x$-ekseninden ${\theta }_A$ açısı yapan bir vektörün bileşenleri:

$$A_x=A\cos {\theta }_A$$

$$A_y=A\sin {\theta }_A$$

şeklinde elde edilir. Bu ilişki, dikdörtgen üçgenden türetilir: vektör hipotenüs, bileşenler ise dik kenarlar olarak düşünülebilir. Trigonometrik ayrıştırmanın bu geometrik temeli, bileşen analizinin neden bu denli güvenilir ve evrensel bir araç olduğunu açıklar.

Tersine, bileşenler $A_x$ ve $A_y$ bilindiğinde vektörün büyüklüğü Pisagor teoreminden elde edilir:

$$A=\sqrt{A_x^2+A_y^2}$$

Yön açısı ise şu bağıntıyla bulunur:

$${\theta }_A=\arctan \left(\frac{A_y}{A_x}\right)$$

Burada vektörün hangi çeyreğe (quadrant) düştüğüne dikkat edilmesi gerekir; zira $\arctan$ fonksiyonu yalnızca birinci ve dördüncü çeyrekte doğru sonucu verir. İkinci ve üçüncü çeyrekte, yani $A_x<0$ olduğunda, doğrultma açısı Ayrıştırılamadı (sözdizim hatası): {\textstyle \theta_A = \theta + 180°} bağıntısıyla düzeltilir.

Somut örnek: Büyüklüğü $A=20$ birim olan ve yatay ile Ayrıştırılamadı (sözdizim hatası): {\textstyle 60°} açı yapan bir vektörün bileşenleri:

Ayrıştırılamadı (sözdizim hatası): {\displaystyle A_x = 20\cos 60° = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10 \text{ birim} }

Ayrıştırılamadı (sözdizim hatası): {\displaystyle A_y = 20\sin 60° = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \approx 17{,}32 \text{ birim} }

Bu değerlerden hareketle vektör $\overrightarrow{A}=⟨10,10\sqrt{3}⟩$ şeklinde bileşen biçiminde yazılır.

2.1.4 Üç Boyuta Genişleme

Üç boyutlu uzayda bir vektör $\overrightarrow{A}$ üç bileşenle tanımlanır:

$$\overrightarrow{A}=A_x\hat{i}+A_y\hat{j}+A_z\hat{k}$$

Büyüklüğü:

$$A=\sqrt{A_x^2+A_y^2+A_z^2}$$

Üç boyutlu uzayda yön, tek bir açı yerine doğrultu kosinüsleriyle (direction cosines) tanımlanır. $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ sırasıyla vektörün $x$-, $y$- ve $z$-eksenleriyle yaptığı açılar olmak üzere:

$$\cos \alpha =\frac{A_x}{A},\cos \beta =\frac{A_y}{A},\cos \gamma =\frac{A_z}{A}$$

Bu doğrultu kosinüsleri arasında her zaman şu temel bağıntı geçerlidir:

$${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =1$$

Bu özdeşlik, üç boyutlu uzayda herhangi bir yönün bu üç sayı tarafından tutarlı biçimde temsil edildiğini matematiksel olarak güvence altına alır.

2.1.5 Birim Vektörler

Birim vektör, büyüklüğü tam olarak $1$ olan ve yalnızca yön bilgisini taşıyan vektördür. $\hat{u}$ gösterimiyle ifade edilir ve herhangi bir vektör $\overrightarrow{v}$’nin büyüklüğüne bölünmesiyle elde edilir:

$$\hat{u}=\frac{\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{v}|}$$

Bu işlem normalizasyon (normalleştirme) olarak adlandırılır ve vektörün yönünü değiştirmeksizin büyüklüğünü $1$’e indirger.

Kartezyen koordinat sistemindeki standart birim vektörler:

$$\hat{i}=⟨1,0,0⟩,\hat{j}=⟨0,1,0⟩,\hat{k}=⟨0,0,1⟩$$

sırasıyla $x$-, $y$- ve $z$-eksenlerinin pozitif yönlerini temsil eder. Bu üç birim vektör birbirine diktir (ortogonal) ve herhangi bir üç boyutlu vektörü tam olarak ifade etmek için yeterlidir; bu özelliğe tam baz (complete basis) denir.

Herhangi bir vektör bu birim vektörler cinsinden şu şekilde yazılır:

$$\overrightarrow{A}=A_x\hat{i}+A_y\hat{j}+A_z\hat{k}$$

Bu gösterim, vektörü büyüklük ve yön parçalarına ayırır: $A_x$, $A_y$, $A_z$ skaler büyüklükler; $\hat{i}$, $\hat{j}$, $\hat{k}$ ise saf yön operatörleridir.

Somut örnek: $\overrightarrow{v}=⟨3,4⟩$ vektörünün birim vektörü:

$$|\overrightarrow{v}|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=5$$

$$\hat{u}=\frac{\overrightarrow{v}}{5}=⟨\frac{3}{5},\frac{4}{5}⟩=⟨0,6,0,8⟩$$

Doğrulama: $\sqrt{0,6^2+0,8^2}=\sqrt{0,36+0,64}=\sqrt{1}=1$ ✓

2.1.6 Vektör-Büyüklük İlişkisi: $\overrightarrow{A}=A\hat{A}$

Vektör analizinin en zarif ilişkilerinden biri, herhangi bir vektörün büyüklüğü ile birim vektörünün çarpımı olarak yazılabilmesidir:

$$\overrightarrow{A}=A\hat{A}$$

Bu ifade, büyüklük ve yön bilgilerini açıkça birbirinden ayırır: $A$ skaleri “ne kadar büyük”, $\hat{A}$ birim vektörü ise “hangi yönde” sorularını bağımsız olarak yanıtlar. Bu ayrıştırma, kuvvet analizinden dalga mekaniğine kadar pek çok teorik çerçevede temel bir işlem adımıdır.

2.1.7 Analitik Vektör Toplamı

Bileşen gösteriminin en güçlü uygulamalarından biri, birden fazla vektörün toplamının büyüklük ve yönünü hesaplamaktır. Geometrik inşa yöntemiyle (uç uca getirme ya da paralelkenar kuralı) elde edilen sonuç; vektör sayısı arttıkça ölçüm hatalarına açık hale gelir. Analitik bileşen yöntemi bu sınırlamayı ortadan kaldırır:

Birden fazla vektörün bileşen toplamı:

$$\overrightarrow{R}=\sum _i{\overrightarrow{A}}_i=\left(\sum _i{A}_{ix}\right)\hat{i}+\left(\sum _i{A}_{iy}\right)\hat{j}+\left(\sum _i{A}_{iz}\right)\hat{k}$$

Bileşenler tek tek toplandıktan sonra sonuç vektörün büyüklüğü ve yönü bulunur. Örneğin Golden Gate Köprüsü’ndeki 400 aracın köprüye uyguladığı kuvvetlerin bileşkesini bulmak gibi karmaşık bir hesap, yalnızca bu sistematik bileşen toplamıyla analitik kesinlikte yapılabilir.

---

2.2 Güncel Araştırmalardan Bulgular

İnsansız hava araçları (İHA) ve vektör alanı güdümü: Son yıllarda İHA navigasyonu ve yol takibi alanında yürütülen araştırmalar, vektör alanı tabanlı güdüm algoritmalarının pratik uygulamalarına zemin hazırlamıştır. Journal of Guidance, Control, and Dynamics dergisinde yayımlanan çalışmalar, doğrultu (birim) vektörlerinin İHA yol planlamasında, engel kaçınmasında ve sürü koordinasyonunda merkezi bir matematiksel yapı oluşturduğunu göstermiştir. Bu araştırmalarda birim vektörlerin normalizasyonu, hareket yönünü büyüklükten bağımsız olarak kodlamanın vazgeçilmez bir aracı olarak öne çıkmaktadır.

Robotik ve oryantasyon hesaplamaları: Günümüz robotik sistemlerinde, bir robotun eklem açıları ve hareket yönleri doğrultu kosinüsleri ve birim vektörler aracılığıyla temsil edilmektedir. UAV sürüsü araştırmalarında derlenen kapsamlı bir inceleme (Springer Journal of Engineering and Applied Science, 2025), oluşum kontrolü ve görev atama süreçlerinin vektör alanı tabanlı koordinasyona dayandığını ortaya koymuştur. Bu sistemlerde yüzlerce özerk aracın koordineli hareket edebilmesi, ancak tutarlı bir birim vektör temsiliyle mümkün olmaktadır.

Havacılık ve uzay mühendisliği: Doğrultu kosinüsleri ve birim vektörler, uzay araçlarının yönelimini tanımlamada ve uçuş yörüngelerinin hesaplanmasında temel araç olarak kullanılmaktadır. Modern uçuş yönetim sistemlerinde kalkış, iniş ve yörünge manevralarının her biri, hız ve kuvvet vektörlerinin bileşen ayrıştırmasına dayanır.

Yapay zeka ve makine öğrenmesi: Vektör normalizasyonunun önemi fizik ve mühendislikle sınırlı kalmamaktadır. Derin sinir ağlarında gradyan patlamasını önlemek için gradyan vektörlerinin normalizasyonu, doğal dil işlemede kelime gömümlülerinin (word embeddings) kosinüs benzerliği hesaplamalarında birim vektöre dönüştürülmesi ve bilgisayarlı görü uygulamalarında yüzey normallerinin hesaplanması gibi alanlarda vektör normalizasyonu kritik bir işlem adımını oluşturmaktadır. Bu alanlarda “yön” ve “büyüklük” ayrımı, tamamen soyut veri uzaylarında bile birebir uygulanmaktadır.

Bilgisayar grafikleri ve gerçek zamanlı fizik simülasyonu: Üç boyutlu grafik motorlarında yüzey normalleri (nesnenin yüzeyine dik birim vektörler), aydınlatma ve gölgeleme hesaplamalarının temelini oluşturur. Kamera yönü ve karakterin hareket doğrultusu da her zaman birim vektörlerle temsil edilir; bunun nedeni, büyüklükten bağımsız bir yön temsili sağlanmak istenmesidir. Örneğin çapraz (diyagonal) hareket eden bir oyun karakterinin hızının sabit tutulabilmesi için girdi vektörünün normalleştirilmesi zorunludur; normalleştirilmemiş bir diyagonal giriş vektörünün büyüklüğü yaklaşık $\sqrt{2}\approx 1,414$ olup karakter istenenden daha hızlı hareket eder.

---

3. Kavramsal Analiz

3.1 Nizam, Gaye ve Sanat Analizi

Vektörel analizin matematiksel yapısında birkaç olgu dikkat çekicidir.

Ortogonallik ve bileşim ilkesi: Standart birim vektörler $\hat{i}$, $\hat{j}$, $\hat{k}$ tam anlamıyla birbirine dik (ortogonal) seçilmiştir. Bu seçim rastgele değildir; yalnızca bu koşul altında herhangi bir uzay vektörü bu üç temel yönün doğrusal bir kombinasyonu olarak yazılabilir, hiçbir bilgi kaybolmaz ve her yönde ayrıştırma tam olarak geri alınabilir. Ortogonal baz seçilmemiş olsaydı bileşen hesaplarında çapraz terimler (cross terms) ortaya çıkar, dönüşüm matrisleri basit kalmaz ve pek çok fizik denklemi mevcut zarif biçimini yitirirdi. Büyük bir simetrinin birbirine dik olmayı mümkün kılan özel geometrik yapıyla örtüşmesi, üç boyutlu uzayın fiziksel mekânla bu derece uyumlu olmasının dikkat çekici bir yönüdür.

Büyüklük-yön ayrışması ve bilgi korunumu: $\overrightarrow{A}=A\hat{A}$ ifadesinin büyüklük ve yönü tam olarak ayrıştırması, aynı zamanda bilginin eksiksiz korunduğu anlamına gelir. Bir vektör normalleştirildiğinde yön bilgisi tamamen korunur; büyüklük ise ayrı bir skalerde saklanır. Bu iki bilginin birbiriyle hiçbir şekilde karışmaması ve birbirinden bağımsız değiştirilebilmesi, matematiksel yapının olağandışı bir düzenliliğe sahip olduğunu göstermektedir.

Doğrultu kosinüslerinin özdeşliği: ${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =1$ bağıntısı, üç farklı eksenle yapılan açıların kosinüslerinin karelerinin toplamının her zaman birlik verdiğini söyler. Bu özdeşlik, başka bir deyişle, uzaydaki her yönün üç koordinat ekseni arasında “paylaştırılmış” bir bütünlük temsil ettiğini ifade eder. Açılar istediği kadar değişsin, bu toplam bozulmaz; üç boyutlu uzayda tutarlı bir yön temsilinin var olabilmesi için gerekli olan bu özdeşliğin tam olarak sağlanıyor olması düşündürücüdür.

Tarihsel süreçte matematiksel zorunluluğun yakınsama noktası: Hamilton’ın kuaterniyonları ve Gibbs’in vektör analizi, farklı matematiksel güdülenimlerle bağımsız yollardan türetilmiş olmasına karşın, fiziksel gerçekliği tanımlamada temelde aynı araçlara ulaşmıştır. Birbirinden bağımsız iki matematikçinin, aynı fiziksel gerçekliği tanımlarken zorunlu olarak birbirine yakınsayan sistemler geliştirmesi, fizik yasalarıyla matematik yapılar arasındaki derin uyumun ilginç bir ifadesidir.

---

3.2 İndirgemeci ve Materyalist Safsataların Eleştirisi

Vektörler ve bileşenler anlatılırken bilim eğitiminde ve popüler literatürde sıklıkla karşılaşılan bir dil sorunu vardır.

“Vektör bileşenleri seçer” yanılgısı: Zaman zaman “vektör $x$-ekseni boyunca $A_x$ büyüklüğünde bileşen seçer” ya da “bir vektör, koordinat eksenlerine kendiliğinden ayrışır” gibi ifadeler kullanılmaktadır. Bu tür betimlemeler, soyut matematiksel nesnelere (vektörlere) aktif bir iradeyi andıran kasıt atfeder. Oysa bir vektörün bileşenleri, koordinat sisteminin tanımlanması ve trigonometrik projeksiyon işlemi sonucunda elde edilen sayısal değerlerdir. Vektörün kendisinde bir “seçme” ya da “ayrışma” eylemi yoktur; gözlemlenen şey, seçilen koordinat sistemi çerçevesinde gerçekleştirilen bir matematiksel hesabın sonucudur.

“Birim vektör yönü belirler” yanılgısı: Benzer biçimde, “birim vektör $\hat{A}$, vektörün yönünü belirler” ifadesi nedensellik ilişkisini tersine çevirir. Birim vektör, mevcut bir vektörün büyüklüğüne bölünmesiyle türetilen bir matematiksel nesnedir; yönü belirleyen değil, yönü tasvir eden bir araçtır. Yön, fiziksel olgu tarafından belirlenir; birim vektör ise bu yönü standart bir formatta kodlamak için yapılan bir hesap işleminin çıktısıdır.

Koordinat sisteminin rolüne dair indirgemeci yanılgı: “Vektör bileşenleri, vektörün koordinat sistemi cinsinden gerçek yapısını gösterir” iddiası da sorunludur. Bileşen değerleri koordinat sistemi seçimine bağlıdır; aynı fiziksel vektör, farklı koordinat sistemlerinde farklı bileşen değerlerine sahip olur. Fiziksel gerçeklik (vektörün büyüklüğü ve gerçek yönü) koordinat bağımsız olmak zorundadır; koordinatlar ise bu gerçekliği tanımlamaya yarayan insani inşa araçlarıdır. Yasalar ve koordinat sistemleri, fiziksel gerçekliğin nedenleri değil; betimleyici çerçeveleridir.

---

3.3 Hammadde ve Sanat Ayrımı Analizi

Vektör analizinin temelinde yatan ontolojik ayrım, fiziksel altyapının ürettiği matematiksel yapıyla ilgilidir.

Hammadde: Bireysel sayısal bileşenler. Örneğin $A_x=3$ ve $A_y=4$. Bu sayıların her biri tek başına, uzayda bir yön işaret eden nesneyi ifade etmez. $3$ sayısı ile $4$ sayısının yalnızca birlikte belirli bir biçimde ilişkilendirilmesiyle koordinat bağımsız bir büyüklük ($A=5$) ve gerçek bir yön (Ayrıştırılamadı (sözdizim hatası): {\textstyle \theta = 53{,}13°} ) ortaya çıkar.

Sanat: Büyüklük-yön birliği. $\overrightarrow{A}=3\hat{i}+4\hat{j}$ ifadesi, iki sayıdan oluşan bir liste değil, uzayda belirli bir yönü gösteren ve belirli bir büyüklüğe sahip olan bir varlıktır. Bu varlığın Pisagor teoremi tarafından verilen büyüklüğü $5$ sayısı, ne $3$’te ne de $4$’te mevcuttur; bileşenlerin belirli bir ilişkisel düzenleme içine yerleştirilmesinden doğar.

Birim vektörün ortaya çıkardığı: Normalizasyon işlemi, büyüklük bilgisini tamamen silerek yalnızca yön bilgisini bırakır. Bu işlemin tersine çevrilebilir olması dikkat çekicidir: $\overrightarrow{A}=A\cdot \hat{A}$ eşitliğinde büyüklük ve yön, birbirini tam olarak tamamlayan ve birlikte orijinal vektörü eksiksiz yeniden inşa eden iki ayrı bilgi katmanı olarak ayrıştırılmış durumdadır. Bu ayrışmanın matematiksel olarak mümkün ve eksiksiz olması, vektörel yapının salt parçaların bir araya gelmesinden fazlasını içerdiğini göstermektedir.

Koordinat sistemiyle ilişki: Birim vektörler $\hat{i}$, $\hat{j}$, $\hat{k}$ bireysel sayılar değildir; bu üç özel nesnenin birbirine tam dik olması, her birinin büyüklüğünün tam olarak $1$ olması ve üçünün birlikte üç boyutlu uzayı eksiksiz örtmesi, fiziksel mekânın yapısıyla örtüşen bir matematiksel tertiptir. Bu üç koşulun aynı anda sağlanması ve fiziksel gerçekliği bu derece doğru temsil etmesi, salt bileşenlerin aritmetik toplamından kaynaklanamaz; ortogonal baz geometrisi ile üç boyutlu uzayın yapısı arasında derin bir uyum söz konusudur.

---

4. Sonuç

Vektörler, büyüklük ve yön bilgisini aynı anda kodlayan matematiksel nesneler olarak fiziksel gerçekliğin tanımlanmasında merkezi bir yer tutar. Bileşen ayrıştırması, büyüklük-yön açısı ilişkisi ve birim vektör normalizasyonu; mekanikten elektromanyetizmaya, robotikten yapay zekâya uzanan geniş bir alanda uygulamalar bulmaktadır. Standart birim vektörler $\hat{i}$, $\hat{j}$, $\hat{k}$ arasındaki ortogonallik, doğrultu kosinüslerinin sağladığı ${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =1$ özdeşliği ve büyüklük-yön ayrışmasının eksiksizliği; bireysel sayısal bileşenlerde bulunmayan ve ancak belirli bir düzenlenme sonucunda ortaya çıkan özellikleri taşımaktadır. Doğal dil işlemeden havacılık sistemlerine, bilgisayar grafikleri motorlarından insansız hava araçlarına kadar uzanan uygulamalar, bu matematiksel yapının işlevselliğini somut biçimde doğrulamaktadır. Büyüklük ile yön arasındaki ayrım gibi görece basit bir ilkenin, bu denli geniş ve farklı alanlarda çalışan temel bir matematiksel araç doğurması; bu yapıların nasıl ve neden var olduğuna dair soruları canlı tutar. Deliller ışığında vektörel yapının bu derinliğini ve ortogonal geometriyle fiziksel mekân arasındaki uyumu nasıl yorumlaması gerektiği sorusunun cevabı, nihai olarak okuyucunun kendi aklına ve vicdanına bırakılmaktadır.

---