Toplam İvme Vektörü

İki Boyutlu Hareket, Teğetsel ve Radyal İvme: Toplam İvme Vektörünün Geometrik Ayrışımı

İki boyutlu uzayda hareket eden bir cismin ivme vektörü, genel olarak iki birbirine dik bileşene ayrıştırılır: yörüngeye teğet yönde etki eden teğetsel ivme ve eğrilik merkezine doğru yönelen radyal (merkezcil) ivme. Bu ayrışım, yalnızca dairesel yörüngeler için değil, anlık eğrilik yarıçapının tanımlandığı her türlü düzlemsel eğri için geçerlidir. Doğrusal kinematiğin tek boyutlu çerçevesinin ötesinde, ivmenin bu geometrik yorumu; cismin hem hızının büyüklüğündeki değişimi hem de hareket yönündeki dönüşümü ayrı ayrı betimleme imkânı sunar.

---

1. İki Boyutlu Harekette Konum, Hız ve İvme Vektörleri

1.1 Temel Tanımlar ve Kartezyen Gösterim

Düzlemsel harekette bir parçacığın konumu, zamana bağlı vektör-değerli bir fonksiyon olarak aşağıdaki biçimde ifade edilir:

$$\overrightarrow{r}(t)=x(t)\hat{i}+y(t)\hat{j}$$

Hız vektörü, konum vektörünün zamana göre birinci türevidir:

$$\overrightarrow{v}(t)=\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}=\dot{x}(t)\hat{i}+\dot{y}(t)\hat{j}$$

İvme vektörü ise hız vektörünün zamana göre türeviyle elde edilir:

$$\overrightarrow{a}(t)=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\ddot{x}(t)\hat{i}+\ddot{y}(t)\hat{j}$$

Bu Kartezyen gösterimde $\hat{i}$ ve $\hat{j}$ birim vektörleri sabit yönlere sahip olduğundan türevleme doğrudan bileşenler üzerinden gerçekleştirilir. Ancak eğrisel yörüngeler söz konusu olduğunda, sabit koordinat eksenlerine dayalı bu ayrışım, cismin hareketi sırasında hızının hem büyüklüğünde hem yönünde meydana gelen değişiklikleri fiziksel olarak aydınlatıcı biçimde ifade etmez. Bu sınırlılığı aşmak için yörüngeye özgü içsel koordinat sistemi (intrinsic coordinates) kullanılır.

1.2 Hız Vektörünün Yörüngeye Teğetliği

Bir parçacığın hız vektörünün her an yörüngesine teğet olduğu matematiksel olarak ispatlanabilir. $s(t)$, parçacığın yörünge boyunca katettiği yol uzunluğunu göstermek üzere hızın büyüklüğü şu bağıntıyla tanımlanır:

$$v=\frac{ds}{dt}=|\overrightarrow{v}|$$

Birim teğet vektör $\hat{T}$, hız vektörünün normalize edilmiş hâlidir:

$$\hat{T}(t)=\frac{\overrightarrow{v}(t)}{|\overrightarrow{v}(t)|}$$

Dolayısıyla hız vektörü daima şu biçimde yazılabilir:

$$\overrightarrow{v}(t)=v(t)\hat{T}(t)$$

Bu ifade, hız büyüklüğünü ($v$) ve hareket yönünü ($\hat{T}$) açıkça birbirinden ayırır; ilerleyen bölümde bu ayrım ivmenin teğetsel ve radyal bileşenlerine doğrudan yol açar.

---

2. Toplam İvme Vektörünün Ayrışımı

2.1 Teğetsel ve Radyal Bileşenlerin Türetilmesi

Hız vektörü $\overrightarrow{v}=v\hat{T}$ olarak yazıldığında, zamana göre türev alınarak ivme vektörü elde edilir:

$$\overrightarrow{a}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\frac{dv}{dt}\hat{T}+v\frac{d\hat{T}}{dt}$$

Birinci terim, hız büyüklüğünün zamanla değişim oranını; ikinci terim ise birim teğet vektörünün yönsel değişimini temsil eder. Birim teğet vektörünün türevi, eğrilik ile ilişkilidir:

$$\frac{d\hat{T}}{dt}=\frac{d\hat{T}}{ds}\cdot \frac{ds}{dt}=\kappa v\hat{N}$$

Burada $\kappa$, yörüngenin eğriliği (curvature); $\hat{N}$ ise eğrilik merkezine yönelen ana birim normal vektörüdür. Bu bağıntı yerine konulduğunda toplam ivme vektörü elde edilir:

Ayrıştırılamadı (sözdizim hatası): {\displaystyle \boxed{\vec{a}(t) = \underbrace{\frac{dv}{dt}\,\hat{T}}_{a_T} + \underbrace{\kappa\,v^2\,\hat{N}}_{a_N}} }

Bu ifade, ivme vektörünün iki birbirine dik bileşenine işaret eder:

Bileşen	Sembol	İfade	Fiziksel Anlam
Teğetsel ivme	$a_T$	$\frac{dv}{dt}$	Hız büyüklüğündeki değişim oranı
Radyal (normal) ivme	$a_N$	$\kappa v^2=\frac{v^2}{\rho }$	Hareket yönündeki dönüşüm oranı

Burada $\rho =1/\kappa$, anlık eğrilik yarıçapıdır.

2.2 Toplam İvmenin Büyüklüğü

İki bileşen birbirine dik olduğundan toplam ivmenin büyüklüğü Pisagor bağıntısıyla hesaplanır:

$$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{a_T^2+a_N^2}$$

İvme vektörünün teğet yönüyle yaptığı açı $\theta$ ise şöyle belirlenir:

$$\tan \theta =\frac{a_N}{a_T}$$

2.3 Hesaplama Formülleri

Hız ve ivme vektörleri bilindiğinde bileşenler şu vektörel çarpım formülleriyle doğrudan hesaplanır:

$$a_T=\overrightarrow{a}\cdot \hat{T}=\frac{\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{v}|}$$

$$a_N=|\overrightarrow{a}\times \hat{T}|=\frac{|\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{v}|}=\sqrt{|\overrightarrow{a}{|}^2-a_T^2}$$

Bu ifadeler özellikle analitik parametrik yörüngelerde eğrilik yarıçapını ayrıca hesaplamaya gerek kalmaksızın bileşenlerin doğrudan bulunmasını sağlar.

---

3. Düzgün ve Düzgün Olmayan Dairesel Hareket

3.1 Düzgün Dairesel Hareket

Sabit $R$ yarıçaplı bir daire üzerinde sabit $v$ hızıyla gerçekleştirilen harekette teğetsel ivme sıfırdır çünkü hızın büyüklüğü değişmez:

$$a_T=\frac{dv}{dt}=0\text{(düzgün dairesel hareket)}$$

Toplam ivme yalnızca radyal bileşenden oluşur ve merkezcil ivme olarak adlandırılır:

$$a_c=\frac{v^2}{R}={\omega }^{2}R$$

Burada $\omega =v/R$, açısal hızdır. Parçacığın konumu zaman cinsinden şöyle ifade edilir:

$$\overrightarrow{r}(t)=A\cos (\omega t)\hat{i}+A\sin (\omega t)\hat{j}$$

Bu ifadenin ikinci türevi alındığında ivme vektörü $\overrightarrow{a}(t)=-{\omega }^2\overrightarrow{r}(t)$ biçiminde elde edilir; yani ivme her an konum vektörüyle zıt yönlüdür ve daima merkeze doğru yönelir.

3.2 Düzgün Olmayan Dairesel Hareket

Hızın büyüklüğünün değiştiği durumda —örneğin bir sarkaç, dikey döngü veya frenleme sürecindeki araç— her iki bileşen de sıfırdan farklıdır:

$$\overrightarrow{a}=\frac{dv}{dt}\hat{T}+\frac{v^2}{R}\hat{N}$$

Bir cisim sabit $R=20\mathrm{m}$ yarıçaplı bir dairede $a_T=0.6\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}$ teğetsel ivmeyle hızlanırken $v=4\mathrm{m}/\mathrm{s}$ anında radyal ivme şöyle hesaplanır:

$$a_N=\frac{v^2}{R}=\frac{16}{20}=0.8\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}$$

$$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{(0.6{)}^2+(0.8{)}^2}=\sqrt{0.36+0.64}=1.0\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}$$

İvme vektörünün teğet yönüyle yaptığı açı:

Ayrıştırılamadı (sözdizim hatası): {\displaystyle \theta = \arctan\!\left(\frac{0.8}{0.6}\right) \approx 53{,}1° }

---

4. Genel Düzlemsel Yörünge ve Eğrilik Yarıçapı

4.1 Anlık Eğrilik Yarıçapı ve Oskülatör Çember

Her eğrisel yörünge noktasında bir oskülatör çember (osculating circle) tanımlanabilir: bu çember, yörüngeyi o noktada en iyi yaklaşık olarak temsil eden, merkezi eğrilik merkezinde bulunan anlık çemberdir. Eğrilik yarıçapı $\rho$, teğet vektörünün yol uzunluğuna göre değişim oranıyla belirlenir:

$$\kappa =\frac{1}{\rho }=\left|\frac{d\hat{T}}{ds}\right|$$

Kartezyen koordinatlarda $y=f(x)$ biçiminde verilen bir eğri için eğrilik şu formülle hesaplanır:

$$\kappa =\frac{|y^{″}|}{(1+y{\text{'}}^2{)}^{3/2}}$$

Parametrik yörünge $\overrightarrow{r}(t)=(x(t),y(t))$ için:

$$\kappa =\frac{|\dot{x}\ddot{y}-\dot{y}\ddot{x}|}{({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2{)}^{3/2}}$$

Bu formül, herhangi bir parametrik eğri üzerinde anlık eğriliği ve dolayısıyla radyal ivmeyi belirlemenin genel aracıdır.

4.2 Frenet–Serret Çerçevesi

İki boyutlu yörüngeler için birim teğet $\hat{T}$ ve birim normal $\hat{N}$ vektörleri birlikte Frenet–Serret çerçevesini oluşturur. Bu hareketli çerçeve parçacıkla birlikte ilerler; her noktada yeni bir teğet ve yeni bir normal yön belirlenir. Yüksek boyutlarda üçüncü bileşen olarak binormal $\hat{B}=\hat{T}\times \hat{N}$ eklenerek üç boyutlu eğrilerin torsion (burulma) özelliğinin betimlenmesi sağlanır.

Frenet–Serret denklemleri iki boyut için şöyle yazılır:

$$\frac{d\hat{T}}{ds}=\kappa \hat{N},\frac{d\hat{N}}{ds}=-\kappa \hat{T}$$

Bu yapı, ivme vektörünün her zaman $\hat{T}$–$\hat{N}$ düzleminde yattığını matematiksel olarak güvence altına alır; ivmenin binormal yönünde hiçbir bileşeni bulunmaz.

---

5. Merkezkaç Kavramı ve Koordinat Sistemi Seçimi

5.1 Polar Koordinatlarda İvme

Polar koordinat sisteminde $\overrightarrow{r}=r{\hat{e}}_r$ olarak yazıldığında hız ve ivme vektörleri şu biçimi alır:

$$\overrightarrow{v}=\dot{r}{\hat{e}}_r+r\dot{\theta }{\hat{e}}_{\theta }$$

$$\overrightarrow{a}=(\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2){\hat{e}}_r+(r\ddot{\theta }+2\dot{r}\dot{\theta }){\hat{e}}_{\theta }$$

Radyal bileşen $(\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2)$, merkezcil ivme terimiyle karşılaştırıldığında bir fark göze çarpar: polar koordinatlardaki radyal birim vektör ${\hat{e}}_r$, yörüngeye her zaman dik olmayabilir. Bu nedenle polar koordinatlardaki radyal bileşen ile Frenet–Serret çerçevesindeki normal bileşen yalnızca dairesel yörünge ($r=\text{sabit}$) durumunda örtüşür; genel eğrisel harekette bu iki ayrışım birbirinden farklıdır.

5.2 Dairesel Yörüngede Denklemlerin Sadeleşmesi

$r=R=\text{sabit}$ durumunda $\dot{r}=\ddot{r}=0$ olduğundan polar ifade basitleşir:

$$\overrightarrow{a}=-R{\dot{\theta }}^2{\hat{e}}_r+R\ddot{\theta }{\hat{e}}_{\theta }$$

Burada $\dot{\theta }=\omega$ açısal hız, $R\ddot{\theta }=R\alpha$ ise teğetsel ivmedir. Bu durumda polar koordinat sistemi ile içsel (Frenet–Serret) koordinat sistemi özdeşleşir.

---

6. Uygulamalar

6.1 Merkezcil İvmenin Evrensel Ölçeği: Gezegen Yörüngelerinden Nano-ölçeğe

İvme bileşenlerinin ayrışımı geniş bir ölçek aralığında gözlemlenen fiziksel sistemlerde işlevsel kılınır. Güneş Sistemi’nde gezegenler eliptik yörüngeler üzerinde Kepler yasalarına uygun biçimde hareket eder; çember yaklaşımında Dünya’nın Güneş etrafındaki merkezcil ivmesi $a_c\approx 5,93\times 10^{-3}\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}$ olarak hesaplanır. Uydular söz konusu olduğunda, yerçekimi ivmesi merkezcil ivmeyle özdeşleştirilmektedir: yörüngesel ivme, cismi sabit bir eğrisel yol üzerinde tutmak için gereken geometrik koşulun bir sonucudur.

Uluslararası Uzay İstasyonu (ISS), yaklaşık $370\mathrm{k}\mathrm{m}$ yükseklikte $v\approx 7,66\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ teğetsel hızla hareket etmekte ve $a_N\approx 8,7\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}$ radyal ivme sergilemektedir. Bu sayısal değer, ISS’nin konumunda yüzeyden ölçülen $g$ değerinden yalnızca yaklaşık %11 oranında düşüktür; Dünya’nın etkili çekim ivmesinin yükseklikle nasıl azaldığının doğrudan bir yansımasıdır.

6.2 Araç Dinamiği ve Yol Tasarımı

Araç dinamiğinde ivmenin bu iki bileşeni güvenlik açısından kritik öneme sahiptir. Bir taşıt kurp yapan bir yolda ilerlerken $a_N=v^2/\rho$ radyal ivme, iç tekerleklerdeki fren kuvvetleri ve dış tekerleklere uygulanan sürtünme kuvvetinin belirlenmesinde kullanılır. Mühendisler, hız profili ile eğrilik yarıçapını birlikte optimize ederek yolcuların deneyimlediği toplam ivmenin fizyolojik sınırlar içinde kalmasını sağlar.

Viraj tasarımında kullanılan klotoid (Euler spirali ya da Cornu spiralı) geçiş eğrileri bu bağlamda önemlidir: eğriliğin $\kappa =s/A^2$ biçiminde yol uzunluğuyla doğrusal arttığı bu eğriler, radyal ivmenin ani sıçrama göstermeksizin kademeli olarak artmasına olanak tanır ve böylece rijit çember arklarından düz yol segmentlerine geçişte ivme sürekliliği sağlanmış olur.

6.3 Lunapark Hız Trenleri ve Biyomekanik Etkiler

Düzgün olmayan dairesel harekete ilişkin en kapsamlı deneysel veriler hız treni araştırmalarından elde edilmektedir. Pendrill (2020), çeşitli hız treni modellerinde hız ($v$), ivme ($a$), sarsım (jerk = $da/dt$) ve titreşim ölçümlerini incelemiş; teğetsel ve radyal ivmelerin süperpozisyonunun yolcular üzerindeki biyomekanik etkilerinin ayrıntılı bir profilini ortaya koymuştur. Bir dikey döngüde:

• Alt noktada: Radyal ivme ile yerçekiminin aynı yönde etki ettiği fark edilir; yolcu koltuğa kuvvetli biçimde bastırılır. Hız büyüdüğünden teğetsel ivme küçük ama sıfırdan farklıdır.
• Üst noktada: Radyal ivme yerçekimine zıt yönde olduğundan net normal kuvvet azalır. Eğer $v^2/R<g$ ise parçacık döngüyü tamamlayamaz.

Güvenli tasarım kriterleri, maksimum teğetsel ivmeyi $\approx 0,6g$, maksimum radyal ivmeyi ise $\approx 6g$ ile sınırlandırmaktadır.

6.4 Atış Hareketi: Sabit Dikdörtgen Koordinatlarda Değişken İçsel Koordinatlar

Atış hareketinde yatay bileşene ivme uygulanmazken dikey bileşene $g$ sabiti uygulanır; böylece Kartezyen koordinatlarda ivme vektörü basit görünür:

$$\overrightarrow{a}=-g\hat{j}$$

Ancak Frenet–Serret çerçevesinde değerlendirme yapıldığında tablo farklılaşır. Hareketin her anında birim teğet vektörü hız yönünde, birim normal vektörü ise eğrilik merkezine (parabola içine) yöneliktir; bunların yönleri sürekli değişir. Bu durumda hem $a_T$ hem $a_N$ zamana bağlı olarak değişen büyüklükler kazanır. Atışın en yüksek noktasında hız yatay olduğundan $\overrightarrow{a}=-g\hat{j}$ radyal yönle örtüşür; teğetsel ivme sıfır, radyal ivme ise $g$’ye eşit olur. Gidiş ve iniş süreçlerinde her iki bileşen de sıfırdan farklı değerler alır.

---

7. Kavramsal Analiz

7.1 Nizam, Gaye ve Sanat Analizi

İvme vektörünün teğetsel ve radyal bileşenlere ayrışması, birbirinden bağımsız iki farklı fiziksel etkiyi birlikte taşıyan bir vektörün geometrik düzlemde mükemmel biçimde ayrıştırılabildiğini ortaya koyar. Bu ayrışımın dikkat çekici bir yönü, söz konusu iki bileşenin tam dik açıyla düzenlenmiş olmasıdır: teğetsel bileşen hızın büyüklüğünü, radyal bileşen ise hızın yönünü belirler — ve bu iki etki birbirini hiçbir şekilde karıştırmaz.

Teğetsel ve radyal ivmelerin dik açılı bu düzenlenişi, boyutsal bir rastlantı değil, üç bileşenli Frenet–Serret türev yapısının zorunlu geometrik sonucudur: birim teğet vektörünün büyüklüğü sabit kaldığından türevi zorunlu olarak ona dik olmak durumundadır. Büyüklüğü sabit bir vektörün türevinin daima o vektöre dik olduğuna ilişkin matematiksel ilke, korunmuş bir dik açıya yol açmaktadır. Bu geometrik mecburiyetin hareketin betimlenebilirliğini son derece temiz biçimde düzenlemesi — “hızı değiştiren” ve “yönü değiştiren” etkenlerin aynı anda tam dik olarak bulunması — düşündürücüdür.

Öte yandan eğrilik yarıçapı $\rho$ ile hız $v$ arasındaki $a_N=v^2/\rho$ bağıntısı, iki bağımsız kinematik niceliğin (hız ve yörünge şekli) ortak fiziksel etkisi olan yön değişimini belirlemek için nasıl iş birliği içinde çalıştığını göstermektedir. Bu iki nicelikteki değişimler ayrı ayrı çok farklı sonuçlar doğurabilecekken, sistemin anlık hâlini tanımlayan bu bağıntı her yerde tutarlı bir geometrik ilişki sergilemiş olması dikkat çekicidir.

7.2 İndirgemeci ve Materyalist Safsataların Eleştirisi

Fizik literatüründe ve popüler anlatımlarda zaman zaman “merkezcil kuvvet cismi merkeze çeker” veya “radyal ivme cismi yönünü değiştirmeye zorlar” biçiminde ifadeler kullanılmaktadır. Bu ifadeler nedensellik atıfları açısından dikkatli bir incelemeyi hak etmektedir.

Merkezcil ivme, bağımsız bir varlık ya da etken değildir; hız ve eğrilik yarıçapından türetilen bir tanımlama büyüklüğüdür. “İvme cismi merkeze çeker” cümlesi özne-nesne ilişkisini tersine çevirmektedir: doğru anlatım, cismin eğrisel yörünge boyunca hareket etmesiyle birlikte ivme vektörünün geometrik zorunluluk gereği merkeze yöneldiği biçiminde olmalıdır. Kuvvet nedensel önceliğe sahipken ivme bu kuvvetin Newton’un ikinci yasası çerçevesindeki kinematik yansımasıdır; ivme kendi başına bir neden değil, bir bağıntının ifadesidir.

Benzer şekilde “Frenet–Serret çerçevesi bize teğetsel ve radyal ivmeleri verir” cümlesindeki dolaylı öznelik dikkat çekicidir. Koordinat çerçevesi bir bilgi seçme aracıdır; gerçek ivme vektörü koordinat seçiminden bağımsız biçimde belirlenmektedir. Koordinat sistemi değiştirildiğinde sayısal bileşenler farklılaşır, ancak fiziksel gerçeklik —cismin yörüngesi, ivme büyüklüğü ve yönü— değişmez. Bu ayrım, betimleyici ile kurucu nedensellik arasındaki sınırın net biçimde çizilmesi açısından önemlidir.

7.3 Hammadde ve Sanat Ayrımı Analizi

Teğetsel ve radyal ivme bileşenlerinin ayrışımı, hammadde ile sanat arasındaki kavramsal ayrımın matematiksel kinematiğe uygulanması için ilginç bir zemin oluşturur.

Gerçek ivme vektörü $\overrightarrow{a}(t)$ hammadde düzeyinde tek bir matematiksel nesne olarak mevcuttur: üç (ya da iki) sayının sıralı kümesi. Ancak bu nesne Frenet–Serret çerçevesinde değerlendirildiğinde, parçacığın yörüngesine özgü geometrik ilişkiler aracılığıyla iki farklı fiziksel işlev ortaya çıkar: hızı değiştiren ve yönü değiştiren etki. Bu iki işlev, vektörün bileşenlerinde ayrı ayrı bulunmamaktadır; yalnızca yörünge geometrisiyle kurulan ilişki sonucunda belirir.

Hammaddedeki (ham ivme vektörü) iki boyutlu sayısal değerlerde bu iki farklı fiziksel işlev ayrı ayrı görünmez; bunlar yalnızca uygun koordinat çerçevesi ve yörünge geometrisiyle birlikte bir bütün olarak tesis edildiğinde ortaya çıkar. Parçanın toplamından fazlası olarak nitelendirilebilecek bu özellik — aynı vektörün yörünge-bağımlı geometri aracılığıyla iki bağımsız fiziksel etkiye ayrışabilmesi —, matematiksel yapının fiziksel gerçeklikle kurduğu derin ilişkinin bir yansıması olarak değerlendirilebilir.

---

8. Sonuç

İki boyutlu harekette toplam ivme vektörü, eğrilik geometrisinin yarattığı içsel koordinat çerçevesinde teğetsel ve radyal bileşenlere ayrıştırılır. Teğetsel bileşen $a_T=dv/dt$ hızın büyüklüğündeki değişimi; radyal bileşen $a_N=v^2/\rho$ ise hareket yönündeki dönüşümü tanımlar. Bu iki bileşen birbirine dik biçimde düzenlenmiş olup toplam ivmenin büyüklüğü $|\overrightarrow{a}|=\sqrt{a_T^2+a_N^2}$ ile belirlenir.

Söz konusu ayrışım, dairesel hareketlerden atış yörüngelerine, uydu yörüngelerinden araç dinamiğine uzanan geniş bir yelpazeде fiziğin temel anlayış aracı olarak işlev görür. Frenet–Serret çerçevesinin zorunlu kıldığı dik açılı düzenleniş; hız büyüklüğünü etkileyen ve hareket yönünü değiştiren etkilerin hiçbir biçimde karışmaksızın aynı vektör içinde birlikte taşınmasını sağlar. Böylesine hassas bir geometrik düzenlenişin, her türlü eğrisel hareket için tutarlı biçimde geçerli olan matematiksel zorunluluktan kaynaklanıyor olması — ve bu zorunluluğun fiziksel gerçeklikle bu denli mükemmel örtüşmesi — deliller ışığında nihai değerlendirme okuyucunun kendi aklına ve vicdanına bırakılmaktadır.

---